上一节中三角函数求不定积分 缩分母技巧主要总结了求三角函数不定积分的缩分母技巧今天主要总结三角函数中的凑微分技巧。

总结内容来自于哔哩哔哩up主考研竞赛凯哥

一、若Rsinx-cosx=-Rsinx,cosx则想办法将cosx凑到d后面形成dsinx后面则将 sinx看作整体令sinx为t则该积分转化为关于t的有理函数积分。

例题1

 根据刚刚的总结其实只是看起来复杂一点通俗理解呢就是将cosx看作是一个整体然后假设变为-cosx那么整个式子也会变为原来的相反数。本题cosx次数为一次且只有一项那么符合总结条件那么这时为了凑微分分子分母同时乘以cosx将分子上的cosx和dx凑成dsinx。这时d后面的sinx是一个整体并且要以此为重所以将原式中的cos²x转化为1-sin²x。

转化为有理函数的积分后根据通常的做法一定也可以解出来。

但是通过观察分母的两项正好加起来为1妙

 例题2

 

本题分子cosx都是奇数次所以符合条件。将一个cosx提出来然后凑微分形成dsinx将dsinx看作是一一个整体换元。转化为有理函数积分后主要解决上面的问题。

二、若R-sinx,cosx=-R(sinx,cosx)则可将sinx凑到d后面形成-dcosx和上面情况本质相同。

例题3

 这个题目和例题1很相似。

例题4

很明显这个题目是分子中的sinx所以为了凑微分 分子分母同时乘以sinx凑微分换元变成典型的有理函数积分。

不过我们可以先观察题目分母下面两个二次函数相乘且最高次系数互为相反数。所以如果这两项加起来呢最高次消了。不妨试一试-t²+1+t²+4t+4=4t+5恰好是分子

 

以上就是解题过程了

写给自己要注意的

 附上我的错题

 练习册上的错题因为dx中的x和括号内的3-x²次数不相同所以不能用凑微分法乱凑啊正确的做法应该是展开。昨天整理的题目中含有了

三、若R-sinx,-cosx=Rsinx,cosx则想办法制造出sec²x dx 凑成dtanx再将tanx看做是一个整体令为t即可。我们有时候很喜欢分子分母同时除以cos²x使得分子出现sec²x就是这个原因

例题5

 

令cosx变为-cosx则原式不变这时可以分子分母同时除以cos²x。

例题6

 通过例题5和例题6分子都是多项式。想到了之前缩分母技巧不过那都是对于1+cosx和1+sinx而言的而这两道题目中都不是一次的都是二次的。可以往这个方面想。

例题7

 

以上的技巧多用于分母之中一下补充对于sinⁿxcosxm的积分

补充

①若m、n中至少有一个奇数时

例题8

 

 

例题9

 当m、n同时都为奇数时

例题10

 

②若m、n均为偶数则使用二倍角公式降幂

例题11